第0章 预备知识
本章主要介绍模糊逻辑系统、径向基函数神经网络、非线性系统的稳定性等一些基本知识，以便于本书主要内容的叙述和读者阅读。
0.1 模糊逻辑系统
模糊逻辑系统 (fuzzy logic system， FLS) 包含模糊规则库、模糊化、模糊推理机、解模糊化四部分。模糊控制的基本结构如图 0.1.1 所示。
图0.1.1 模糊控制的基本结构图
模糊推理机使用模糊 IF-THEN 规则实现从输入语言向量 x = [x1， x2， ，xn]T 到输出语言变量 y ∈ V 的映射，第 l 条模糊 IF-THEN 规则可以写成Rl：如果 x1 是 Fl1，x2 是 Fl2， ，xn是Fln，则 y 是Gl，l = 1， 2， ，N 式中，Fl i和 Gl 是对应于模糊隶属函数和 μGl(y) 的模糊集合；N 是模糊规则数。
若采用单点模糊化、乘积推理和中心加权解模糊化方法，则模糊逻辑系统可表示为
(0.1.1)
式中，
定义如下模糊基函数：
(0.1.2)
令，则模糊逻辑系统 (0.1.1) 可表示为
(0.1.3)
引理 0.1.1[1] f(x) 是定义在闭集 Ω 的连续函数，对任意给定的常数 ε > 0，存在模糊逻辑系统 (0.1.3)，使得如下不等式成立：
(0.1.4)
定义**参数向量：
(0.1.5)
*小模糊逼近误差 ε 由下式给出：
(0.1.6)
0.2 径向基函数神经网络
径向基函数神经网络由隐含层和输出层两层网络组成，其基本结构如图 0.2.1 所示。隐含层实现不可调参数的非线性转化，即隐含层将输入空间映射到一个新的空间。输出层则在该新的空间实现线性组合。
因此，径向基函数神经网络是一个线性参数化的神经网络，可以表述为
(0.2.1)
式中，x = [x1， x2， ， xn]T ∈ Rn 是输入向量，n 是神经网络的输入维数；W = [w1，w2， ，wl]T ∈ Rl 是神经网络权值向量，l > 1 是神经网络节点数；S(x) =[s1(x)， s2(x)， ， sl(x)]T ∈ Rl 是径向基函数向量，si(x) 是基函数。
径向基函数 S(x) 中的 si(x) 通常选取为高斯函数：
(0.2.2)
式中，μi = [μi1， μi2， ， μin]T 是基函数的中心；γi 是高斯函数的宽度。
图0.2.1 径向基函数神经网络的基本结构图
引理 0.2.1[2] f(x) 是定义在紧集 Ω ∈ Rn 的连续函数，对任意给定的常数ε> 0，存在常数向量 W，使得如下等式成立：
(0.2.3)
定义**权值 W.：
(0.2.4)
0.3 非线性系统的稳定性及判别定理
0.3.1 半全局一致*终有界
定义 0.3.1[3] 考虑如下非线性系统：
(0.3.1)
对于任何紧集和，如果存在常数 δ > 0 和时间常数T(δ， x0)，对于，使得||x(t)|| < δ，则非线性系统 (0.3.1) 的解是半全局一致*终有界的。
引理 0.3.1 对于任何有界初始条件，如果存在一个连续可微且正定的函数V (x， t)，满足
且该函数沿着系统 (0.3.1) 的轨迹满足
(0.3.2)
